解一元二次方程的公式

一元二次方程是数学中一个基础且重要的概念，其标准形式为 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 是常数，且 \(a \neq 0\)。一元二次方程的解可以通过著名的求根公式来找到，该公式也被称作二次公式。

二次公式的推导

为了推导这个公式，我们从一般形式出发，即 \(ax^2 + bx + c = 0\)。首先，我们将等式两边同时除以 \(a\)（因为 \(a \neq 0\)），得到：

\[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\]

接下来，我们将等式左侧配成完全平方的形式。为此，我们需要加上并减去 \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)，这样做不会改变等式的值，因为我们实际上是加上了一个零（\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = 0\)）。因此，

\[x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} = 0\]

将上述等式重写为完全平方形式：

\[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}\]

简化右侧：

\[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\]

取平方根得：

\[x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\]

进一步简化：

\[x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

最后，将 \(\frac{b}{2a}\) 移到等式右边，得到最终的二次公式：

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

这就是一元二次方程的解，它告诉我们，对于任何给定的一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，它的解可以通过上述公式计算得出。这里的 \(\pm\) 表示方程可能有两个不同的实数解，或者在特定情况下（当判别式 \(b^2 - 4ac < 0\) 时）可能有复数解。