高中函数值域的求法汇总（高中函数值域的12种求法）

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反函数法  当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。  例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。  点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。  解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。  点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

配方法  当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域  例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。  点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。  解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]  ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]  点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

判别式法  若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。  例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。  点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。  解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0         （＊）  当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3  当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。  点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

最值法  对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。  例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。  点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。  解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),  ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。  当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。  ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。  点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

图象法  通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。  例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。  点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。  解：原函数化为 －2x+1  (x≤1)         y= 3 (-1<x≤2)            2x-1(x>2)  它的图象如图所示。  显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。  点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。  求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

单调法  利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。  例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。  点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。  解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。  点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

换元法  以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。  例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。  点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。  解：设t=√2x+1 （t≥0）,则  x=1/2(t2-1)。  于是  y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/  所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。  点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

构造法  根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。  例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。  点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。  解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22  作一个长为宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。  由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。  ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。  点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

比例法  对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。  例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。  点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。  解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)  ∴x=3+4k,y=1+3k,  ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。  当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。  函数的值域为｛z|z≥1｝.  点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

利用多项式的除法  例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。  点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。  解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。  ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。  ∴函数y的值域为y≠3的一切实数。  点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

1不等式法  例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。  点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。  解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],  由对数函数的定义知  x/(1-x)＞0             1-x≠0  解得，0＜x<1。  ∴函数的值域（0，1）。  点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

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